Головоломки. Задачи. Фокусы. Развлечения - Перельман Яков Исидорович (читать книги онлайн полностью без сокращений TXT) 📗
Помогу читателю разыскать добычу удильщика. Одна рыбина покоится головой вниз на спине рыболова. Вторая поместилась между его головой и руками, держащими удилище. Третья расположилась под его ногами.
Посмотрите дальше, как складываются фигурки, изображенные на стр. 99—105.
Не умел считать крестьянин. Степка же сосчитал правильно. В самом деле: за 1-й час Степке причитался 1 орех, за 2-й — 2, за 3-й — 4, за 4-й — 8, за 5-й — 16, за 6-й — 32, за 7-й — 64, за 8-й — 128, за 9-й — 256, за 10-й — 512. Пока все вместе составляет немного больше тысячи орехов. Но будем продолжать подсчет: за 11-й час Степке следовало 1 024 ореха, за 12-й — 2 048, за 13-й — 4 096, за 14-й — 8 192, за 15-й — 16 384. Числа получаются изрядные; но какие же тут тысячи тачек? Однако:
за 16-й час причитается 32 768
«17-й ««65 536
«18-й ««131 072
«19-й ««262 144
«20-й ««524 288
Все вместе составляет уже больше миллиона орехов! Но сутки не кончены — остается еще 4 часа.
За 21-й час причитается 1 048 576
«22-й ««2 097 152
«23-й ««4 194 304
«24-й ««8 388 608
А если сложить все 24 часа вместе, то составится 16 777 215 — почти 17 миллионов орехов. Это и будет та тысяча тачек, о которой говорил Степка.
Вот как это надо сделать (зачеркнутые цифры заменены нулями):
011
000
009
Действительно: 11 + 9 = 20.
Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:
123 + 4–5 — 67 = 55;
1 — 2–3 — 4 + 56 + 7 = 55;
12 — 3 + 45 — 6 + 7 = 55.
Написать число 100 пятью единицами очень просто:
111 — 11 = 100.
5 ? 5 ? 5 — (5 ? 5).
Это равно 100, потому что 125 — 25 = 100.
33 ? 3 +
22 + 2 + 2 + 2 = 28.
Мы привели здесь только по одному решению, но можно придумать и еще. Например, число 8 можно составить не только так, как здесь показано, но еще и иначе:
Будет только один такой год в XX веке: 1961-й.
Единственные цифры, которые не искажаются в зеркале, — это 1, 0 и 8. Значит, искомый год может содержать в себе только такие цифры. Кроме того, мы знаем, что это один из годов XIX века, т. е. что первые его две цифры 18.
Легко сообразить теперь, какой это год: 1818-й. В зеркале 1818 год превратится в 8181-й: это ровно в 4 1/2 раза больше, чем 1818:
1818 ? 41/2 = 8181.
Других решений задача не имеет.
Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел нет.
Таких чисел сколько угодно:
3 ? 1 = 3,
3 + 1 = 4,
10 ? 1 = 10,
10 + 1 = 11,
и вообще всякая пара целых чисел, из которых одно — единица.
Это потому, что от прибавления единицы число увеличивается, а от умножения на единицу остается без перемены.
Числа эти 2 и 2. Других целых чисел с такими свойствами нет.
1, 2 и 3 дают при перемножении и при сложении одно и то же:
1 + 2 + 3 = 6; 1 ? 2 ? 3 = 6.
Таких чисел очень много. Например:
2: 1 = 2;
2 ? 1 = 2;
7: 1 = 7;
7 ? 1 = 7;
43: 1 = 43;
43 ? 1 = 43.
Вот еще четыре пары таких чисел:
11 и 110; 14 и 35; 15 и 30; 20 и 20.
В самом деле:
11 ? 110 = 1210;
15 ? 30 = 450;
11 + 110 = 121;
15 + 30 = 45;
14 ? 35 = 490;
20 ? 20 = 400;
14 + 35 = 49;
20 + 20 = 40.
Других решений задача не имеет. Довольно хлопотливо разыскивать решения вслепую. Знание начатков алгебры значительно облегчает дело и дает возможность не только отыскать все решения, но и удостовериться, что больше пяти решений задача не имеет.
Рассуждаем так. Цифра 6 получилась от сложения колонки из двух цифр, из которых нижняя может быть либо 0, либо 5. Но если нижняя 0, то верхняя 6. А может ли верхняя цифра быть 6? Пробуем: оказывается, чему бы ни равнялась вторая цифра множителя, никак не получается 6 на предпоследнем месте первого частного произведения. Значит, нижняя цифра предпоследней колонки должна быть 5; тогда над ней стоит 1.
Теперь легко восстановить часть стертых цифр:
Последняя цифра множителя должна быть больше 4, иначе первое частное произведение не будет состоять из четырех цифр. Это не может быть цифра 5 (не получается 1 на предпоследнем мосте). Пробуем 6 — годится. Имеем:
Рассуждая далее подобным же образом, находим, что множитель — 96.
Всех семеро: четыре брата и три сестры. У каждого брата три брата и три сестры; у каждой сестры четыре брата и две сестры.
Всех детей семь: шесть сыновей и одна дочь. (Обычно же отвечают, что детей двенадцать; но тогда у каждого сына было бы шесть сестер, а не одна.)
