Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр - Коллектив авторов (книги читать бесплатно без регистрации txt) 📗
УРАВНЕНИЯ
Не всегда, но в большинстве случаев связующим звеном между чистой и прикладной математикой являются уравнения.
То, что уравнение можно сформулировать, не означает, что его можно решить. В истории математики решению уравнений были посвящены целые столетия. Если у нас есть уравнение, которое позволяет рассчитать все составляющие траектории пули, но мы не знаем, как его решить, от него не будет никакой пользы. Решить уравнение значит найти все его решения. Например, решением уравнения
х+3 = 5
будет x = 2.
Однако у такого уравнения, как
х2-Зх+2 = 0,
не будет однозначного решения. Мы можем предпринять множество попыток в поисках решения, но уравнения такого типа решаются определенным способом. Это уравнение второй степени, и его изучают в школе. Алгоритм решения дает нам числа 1 и 2. Если бы мы не знали этого алгоритма, нам пришлось бы действовать методом подбора. В данном конкретном случае мы все довольно быстро нашли бы ответ, но в таком уравнении, как
2,34x4 + 23,56x3 - 0,65x2 + 11,370х - 36,62 - 0,
подбор будет титаническим трудом с мизерными шансами на успех. В качестве альтернативы такую работу можно поручить машине — сегодня мощность процессоров позволяет справиться с этой задачей. Работа математика в таких случаях может быть очень полезной не только для того, чтобы создать уравнения, но и для того, чтобы определить интервал решений. Например, если мы знаем, что искомые числа находятся в промежутке от 0 до 10, это, несомненно, упростит поиск решений методом подбора.
В начале своей жизни в Америке фон Нейман, придя на работу в Лабораторию баллистических исследований, занимался задачей гидродинамической неустойчивости, входящей в область механики твердого тела. Это основополагающий инструмент баллистики, в котором задействованы дифференциальные уравнения в частных нелинейных производных, представляющие большую аналитическую сложность. Ученый задумался о том, чтобы решать такие уравнения при помощи числовых методов. Так родился его интерес к новым электронным вычислительным машинам и возможностям, которые они открывали. Фон Нейман уже знал, что вычисления могут вызывать большие сложности. Разумеется, речь идет не об уравнениях второй степени, а об уравнениях, для решения которых еще не существует алгоритма. Они требовали долгих часов вычислений — computes по-английски. Люди, чья работа заключалась в этих вычислениях, так и назывались — компьютеры. По неизвестной причине женщин на этой должности всегда было больше, чем мужчин.
ПЕРВЫЕ КОМПЬЮТЕРЫ
Одно из значений слова «компьютер» — «считать», «тот, кто считает». Таким образом, предшественники этих машин — аппараты, способные производить вычисления, то есть автоматически совершать арифметические операции. В общем смысле компьютером называется аппарат, в который можно ввести данные (input) и от которого мы ожидаем результат, то есть выходные данные (output).
Уровень автоматизма и сложность производимых операций являются определяющими факторами в развитии вычислительных машин. Тот факт, что вместо того чтобы самим руками передвигать костяшки на счетной доске, мы доверяем вычислительную операцию электромеханическому устройству, означает большой технический прогресс. Было это устройство спроектировано для сложения длинных чисел или же для решения дифференциальных уравнений — технический вопрос, но другого толка. В любом случае счетные устройства появились вследствие необходимости избавить человека от абсолютно механических вычислений, во время которых надо не думать, а выполнять один и тот же рутинный процесс. Следовательно, для него можно написать программу.
В отличие от общих наук, в которых вклад одного человека может привести к удивительным результатам, технологии обычно развиваются поступательно и более медленно. Для того чтобы создать механизмы с шестеренками, стержнями и сцеплением, нужен не только соответствующий чертеж, но и фабрика, которая может изготовить комплектующие. Именно поэтому знаменитые машины (аналитическая и дифференциальная) британского ученого Чарльза Бэббиджа (1791-1871) не получили распространения, хотя уже в наши дни они построены для одного музея и прекрасно там работают. Эти машины считаются одной из основ эры информатики, особенно если рассматривать их вместе с результатами британского математика Ады Августы Байрон (1815-1852), графини Лавлейс, создавшей первый в истории язык программирования. Это повлекло за собой появление основного элемента в эволюции вычислительных машин — сегодня мы называем его программным обеспечением, software. С этого момента у компьютера появились «тело» и «душа» — hardware (аппаратное обеспечение) и software. В связи с этим стоит упомянуть о работе британского математика Джорджа Буля (1815-1864) «Исследование законов мышления», вышедшей в 1854 году. В ней впервые появилась так называемая булева алгебра — новая алгебра логики, в которой переменные могут принимать только два значения (0 и 1), а основными операциями являются AND (и), OR (или) и NOT (нет). На их основе разрабатывали логику современных компьютеров. Наконец, нельзя не вспомнить о французском торговце Жозефе Жаккаре (1752-1834), который еще в 1801 году, задолго до появления первых вычислительных машин, создал автоматический станок, устройство которого было основано на нескольких перфокартах, способных хранить информацию о повторяющихся процессах.
Появление компьютеров нового поколения обычно относят к 1890 году, когда правительство США решило провести перепись населения. Подсчет результатов должен был продлиться десять лет. Однако при помощи устройства Германа Холлерита (1860-1929), чье аппаратное обеспечение основывалось на перфокартах Жаккара, а программное — на булевой алгебре, перепись завершилась за рекордно короткий срок — за два года. Немного позже, в 1924 году, была создана первая компания по производству подобных вычислительных машин, International Business Machine Corporation (IBM).
Фон Нейман впервые стал использовать перфокарты для математических вычислений. Его брат Николас вспоминал, что эта идея пришла ему в голову, когда они еще жили в доме своих родителей в Будапеште. Их отец, который всегда хотел заинтересовать сыновей миром бизнеса, часто подробно рассказывал им о влиянии экономики на общество и культуру. Банк, директором которого был Макс Нейман, недавно инвестировал в инновационную ткацкую фабрику. Деньги были нужны для закупки станков Жаккара.
Фон Нейман знал, как важна была связь теории с практикой, устанавливаемая посредством опытов. Данные, полученные опытным путем, помогали скорректировать теорию.
Введение новых методов исчисления способствовало большому прогрессу в науке, и фон Нейман полагал, что применение компьютеров стало бы серьезным шагом в этом направлении. Однако для этого требовались новые числовые методы. Особое значение имеет вклад фон Неймана в создание методов числовой стабильности, вычисления обратных матриц и приближения функций в дискретных точках.
Благодаря исследованиям в области баллистических траекторий и распространяющихся волн фон Нейман стал востребованным экспертом у военной элиты. Но это было только начало эксперимента, который привел к реализации одного из самых выдающихся научных проектов и одновременно с этим стал одним из самых ярких примеров разрушительных возможностей человека. И ученый фон Нейман принял наиболее активное участие в этом проекте.
АТОМНАЯ БОМБА
Шел 1944 год. Перед союзниками забрезжила возможность победы. Роммель проиграл битву в Северной Африке, Италия больше не хотела следовать за сумасшествием Гитлера, а американские войска завоевали Сицилию, стратегический пункт для контроля над Средиземным морем. Советская армия выиграла битву под Сталинградом и начала наступление, хотя ей и мешало плохое состояние дорог после одной из самых суровых зим в Восточной Европе. Однако до конца войны было еще далеко. Немецкая армия прочно засела в оккупированных странах, и ни один солдат союзников не мог туда проникнуть. В сентябре того же года вермахт запустил «Фау-2», улучшенную версию «Фау-1». Это была первая военная ракета, созданная на секретном полигоне в Пенемюнде под руководством инженера Вернера фон Брауна. Это оружие вызывало панику: его было очень трудно обнаружить, а подлетало оно неслышно, так как двигалось со скоростью, превышающей скорость звука. Эти ракеты имели большой психологический эффект, но как оружие были весьма спорными. Больше людей погибло при работе над «Фау-2», чем от нее самой на поле боя. Главные недостатки ракеты объяснялись двумя факторами: во-первых, ее навигационным устройствам ракеты недоставало точности, а во-вторых, ее взрывная мощность была относительно слабой. «Фау-2» вмещала 975 кг аммотола (смеси аммиачной селитры и тротила), которые, если ракета была точно направлена на цель, могли привести к катастрофическим последствиям, но если она падала недалеко от городской застройки (как это и происходило чаще всего), то просто создавала кратер средних размеров.
