Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Беллюстин Всеволод Константинович (библиотека книг TXT) 📗

Въ составъ среднев?ковыхъ ари?метикъ входили еще такъ называемыя математическія развлеченія. Трудно и скучно было тогдашнимъ ученикамъ. Сухое изложеніе, мудреный языкъ, масса научныхъ терминовъ, отсутствіе объясненій [10] — все это приводило къ тому, что ученье обращалось въ долбленье, и только бол?е счастливые, т. е. бол?е сильные, умы могли справляться съ матеріаломъ, перерабатывать и понимать. Вотъ когда появились поговорки: «корень ученья горекъ» и «лучше книги не скажешь». Чтобы хотъ н?сколько оживить учениковъ, ут?шить и ободрить, ихъ назидали, во-первыхъ, ув?-щательными стихами, гд? восп?валась вся сладость подвига и вся ц?нность результатовъ, которыхъ им?етъ достигнуть «мудролюбивый» отрокъ:

Во-вторыхъ, давались задачи съ оотроумнымъ содержаніемъ и требовавшія особенной изворотливости и догадки. Вотъ задача изъ сборника, приписываемаго Алькуину (въ 8 в. по Р. X). Рукопись относится приблизительно къ 1000 г. по Р. X. «Два челов?ка купили на 100 сольдовъ свиней и платили за каждыя пять штукъ по 2 сольда. Свиней они разд?лили, продали опять каждыя 5 штукъ по 2 сольда и при этомъ получили прибыль. Какъ это могло случиться? А вотъ какъ: на 100 сольдовъ приходится 250 свиней, ихъ они разд?лили пополамъ, на 2 стада, и изъ перваго стада отдавали по 2 свиньи на 1 сольдъ, а изъ второго по 3; тогда достаточно выдать по 120 штукъ изъ каждаго стада, такъ какъ придется получить 60 сольдовъ за свиней перваго стада, 40 за свиней второго, всего 100 сольдовъ; 5-ть же штукъ изъ каждаго стада останется въ прибыли». Требуется разгадать эту загадку.

Въ сборник? Алькуина содержится изв?стная загадка о волк?, коз? и капуст?, которыхъ надо перевезти черезъ р?ку, съ такимъ условіемъ, что въ лодк? нельзя пом?щать волка съ козой, козы съ капустой, и оставлять на берегу тоже нельзя вм?ст?, потому что они съ?дятъ; какъ же это устроить?

 Лучшій сборникъ задачъ-загадокъ издалъ Баше-де-Мезиріакъ въ 1612 году, заглавіе его такое: Problemes plaisantes et delictables qui se font par les nombres. Въ немъ пом?щена большая часть т?хъ задачъ, какія встр?чаются и сейчасъ въ сборникахъ этого рода, наприм., о задуманныхъ числахъ, о работник?, котораго нанимаетъ хозяинъ съ условіемъ платить ему за рабочіе дни и вычитать за прогульные, и т. д.

 Въ старинныхъ русскихъ ари?метикахъ можно отм?тить такія интересныя задачи: «I. Пришелъ христіянинъ въ торгъ и принесъ лукошко яицъ. И торговцы его спрошали: много-ли у тебя въ томъ лукошк? яицъ? И христіянинъ молвилъ имъ такъ: язъ, господине, всего не помню на перечень, сколько въ томъ лукошк? яицъ. Только язъ помню: перекладывалъ язъ т? яйца изъ лукошка по 2 яйца, ино одно яйцо лишнее осталось на земли; и язъ клалъ въ лукошко по 3 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 4 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 5 яицъ, ино одно же яйцо осталось: и язъ ихъ клалъ по 6 яицъ, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 7 яицъ, ино все посему пришло. Ино, сколько яицъ въ томъ лукошк? было, сочти ми? Придетъ было 721. II. Левъ съ?лъ овцу однимъ часомъ, а волкъ съ?лъ овцу въ 2 часа, а песъ съ?лъ овцу въ 3 часа. Ино, хощешь в?дати, сколько бы они вс? три: левъ, волкъ и песъ овцу съ?ли вм?ст? вдругь и сколько бы они скоро ту овцу съ?ли, сочти ми [11])?

III. О деньгахъ въ куч? в?дати. Аще хощеши въ куч? деньги в?дати, и ты вели перевесть по 3 деньги. А что останется отъ 3-хъ—2 или 1, и ты за 1 по 70. Да опять вели перевести по 5, и что останется—4 или 3, или 2, или 1, и ты за 1 клади по 21. Да опять вели перевести по 7, и что останется — 6 или 5, или 4, или 3, или 2, или 1, и ты тако же за всякій 1 клади по 15. Да что въ остаткахъ перечни родились, и т? перечни сочти вм?сто, а сколько станетъ, и ты изъ того перечню вычитай по 105, и что останется отъ сто пяти или сама сто пять, то столько въ куч? и есть».

Немаловажной статьей среди математическихъ развлеченій были магическіе квадраты. Что такое магическій квадратъ? Это рядъ чиселъ отъ 1 и до какого-нибудь пред?ла, разм?щенныхъ по кл?ткамъ квадрата такъ, что сумма чиселъ по діагоналямъ и по сторонамъ остается постоянной. Вотъ прим?ры, взятые изъ сборника Алькуина (этотъ ученый особенно любилъ магическіе квадраты):

Они встръчаются въ сочиненiяхъ секты «Чистыхъ братьевъ», существовавшей въ X в. по Р. X. въ г. Аль-Бассра. Эта секта приписывала магическимъ квадратамъ особенную таинственную силу. В?рили, что они способны изм?нить расположеніе зв?здъ при рожденіи младенца и помочь ему.

Въ конц? ари?метики Іоанна Севильскаго (1150 года) приведенъ такой магическій квадратъ:

Объясненія не дано, только пом?щены т? же самыя черточки, какія и на этомъ чертеж?.

Исторія алгебры.

Хотя народы древвяго міра не знали нашей алгебры, но это не м?шало имъ заниматься такими вопросами, которые принадлежатъ, собственно говоря, алгебр?. Еще у египтянъ въ древн?йшей рукописи-папирус? Ринда р?шаются уравненія первой степени съ однимъ неизв?стнымъ; въ этихъ уравненіяхъ мы встр?чаемъ и знаки, напр., своеобразный знакъ равенства / / . Задача пом?щена, между прочимъ, такая: «? ц?лаго числа вм?ст? съ его ?, и ¹/₇ и съ этимъ же ц?лымъ числомъ даютъ 33, найти неизв?стное»; прежде всего отбираются изв?стные члены въ одну часть, а неизв?стные въ другую, коэффиціенты при неизв?стныхъ представляются основными дробями (т. е. съ числителемъ 1) или же выражаются въ одинаковыхъ доляхъ и складываются; величина неизв?стнаго опред?ляется такъ: въ первомъ случа? умножается коэффиціентъ на подходящее число, такъ чтобы въ произведеніи получился изв?стный членъ, а во второмъ множатъ изв?стный членъ на знаменателя коэффиціента и полученное д?лятъ на числителя.

Греческіе ученые занимались алгеброй въ періодъ времени съ VI ст. до Р. X. и кончая IV ст. по Р. X. Они разработали н?сколько отд?ловъ ея, но ихъ труды идутъ въ иномъ направленіи, ч?мъ какого держится нов?йшая математика, именно они носятъ на себ? геометрическую окраску.

Прежде всего Пи?агоръ (въ VI ст. до Р. X.) и Платонъ (въ V ст.) р?шили въ ц?лыхъ числахъ уравненіе х²+y²=z².

Пи?агоръ далъ такія формулы:

гд? а равно любому нечетному числу; по Платону

гд? а любое четное число.

Діофантъ, жввшій въ Александріи въ 4 в. по Р. X., оказалъ алгебр? большія услуги. До него древніе не знали употребленія буквъ при доказательствахъ въ общемъ вид?, Діофантъ же первый сталъ вводить различные знаки для неизв?стныхъ величинъ, главнымъ образомъ греческія буквы; ему обязана своей разработкой глава объ уравненіяхъ, именно объ уравненіяхъ первой степени со многими неизв?стными и о полныхъ квадратныхъ уравненіяхъ. Вотъ прим?ръ изъ Діофанта:

x + y = 10, x² + y² = 68

д?лимъ 1-е уравненіе на 2 и получаемъ

теперь положимъ, что

тогда