Online-knigi.org
online-knigi.org » Книги » Научно-образовательная » Математика » Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - Гомес Жуан (читать книги бесплатно полные версии TXT) 📗

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - Гомес Жуан (читать книги бесплатно полные версии TXT) 📗

Тут можно читать бесплатно Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - Гомес Жуан (читать книги бесплатно полные версии TXT) 📗. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте online-knigi.org (Online knigi) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:

Хайям рассматривал четырехугольник с вершинами А, В, С и D, такой, что стороны АВ и CD конгруэнтны (то есть одна из них может быть наложена на другую), а углы при вершинах А и D являются прямыми. Омар Хайям доказал, что углы при вершинах В и С также конгруэнтны, но он не утверждал, что они должны быть прямыми. Четырехугольник такого типа имеет следующий странный вид:

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - _31.jpg
Современный период

В эпоху Возрождения дальнейшие исследования связаны с работой Христофора Клавия (1538–1612), который в 1584 г. составил комментарии к «Началам». Он добавил также свои предложения, увеличив их количество до 1234.

Между 1603 и 1607 гг. он выпустил первое издание «Начал», предназначенное для Китая. Именно этот текст позднее использовали в своих исследованиях Саккери и Декарт.

Из-за своих дополнений к «Началам» Клавий прославился как «Евклид шестнадцатого века». Его работа была довольно радикальной, но он многое сделал в других областях. Он являлся активным сторонником григорианского календаря, и именно благодаря ему после четверга, 4 октября 1582 г. по юлианскому календарю, идет пятница, 15 октября 1582 г. по григорианскому календарю. Расчеты Клавия позволили перейти от одного календаря к другому, удалив 10 дней из истории человечества!

Клавий привел доказательство пятого постулата, снова использовав для этого сам пятый постулат: линия, равноудаленная от данной прямой линии, также является прямой. Несмотря на другие свои достижения, Клавий не достиг успеха в попытке исправить и дополнить великого мастера.

Преподаватель Оксфордского университета Джон Валлис (1616–1703) был одним из пионеров современной математики. Он ввел новую интерпретацию пятого постулата, отказавшись от идеи равноудаленности и использовав рассуждения с треугольниками. Валлис показал, что «для любого треугольника можно построить другой треугольник с теми же углами и пропорциональными сторонами». Однако и это утверждение также эквивалентно исходному постулату:

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - _32.jpg

Все аргументы так или иначе сводились к утверждениям, эквивалентным пятому постулату, потому что сам подход был ошибочным: в доказательстве уже использовалось то, что они хотели доказать.

Четырехугольники Саккери

Казалось, ситуация зашла в тупик, но тут появился Джироламо Саккери. Итальянский математик воспользовался методом доказательства от противного, при котором сначала формулируют предположение, противоположное тому, что хотят доказать, а затем логически доказывают, что это предположение ведет к противоречию. Таким образом, Саккери подумал, что ему удалось доказать постулат, но потом он понял, что так и не получил убедительного противоречия.

Его работа неявно предполагает существование других геометрий, которые возникают именно из-за невозможности достижения противоречия, исходя из предположения о ложности пятого постулата. Сам не осознавая того, Саккери создал новую геометрию, в которой пятый постулат заменен противоположным ему утверждением.

Саккери начал с идеи Омара Хайяма и рассмотрел тот же четырехугольник ABCD, у которого стороны АВ и CD конгруэнтны, а углы при вершинах А и D прямые. Четырехугольники такого вида называются теперь четырехугольниками Саккери.

Чтобы доказать пятый постулат, Саккери показал, что углы при вершинах В и С прямые. В соответствии с пятым постулатом, угол В равен углу С. В этом случае существует три возможности.

1. Гипотеза о прямых углах: углы В и С являются прямыми.

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - _33.jpg

* * *

ДЖИРОЛАМО САККЕРИ (1667–1733)

Саккери еще молодым человеком вступил в орден иезуитов и преподавал теологию в иезуитском колледже в Милане. Позднее он преподавал философию в Турине. Но его интересы этим не ограничивались. Работая преподавателем математики в университете Павии, он занимался пятым постулатом Евклида и представил результаты исследований в своем главном труде Euclides ab omni naevo vindicatus («Евклид, очищенный от всех пятен»).

* * *

2. Гипотеза о тупых углах: углы В и С являются тупыми, то есть их величина больше 90° и меньше 180°.

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - _34.jpg

3. Гипотеза об острых углах: углы В и С являются острыми, то есть их величина больше 0° и меньше 90°.

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - _35.jpg

Саккери показал, что пятый постулат эквивалентен гипотезе о прямых углах, а затем попытался доказать, что другие гипотезы приводят к противоречию. Если бы ему это удалось, то постулат был бы доказан. Рассматривая вторую гипотезу (случай тупых углов), он получил противоречие и отбросил эту возможность. Еще раньше он показал, что сумма четырех углов должна быть меньше или равна 360°. Но для гипотезы острых углов ему не удалось получить противоречия. Теперь-то мы точно знаем, что противоречия не существует, и гипотеза об острых углах является одной из основ неевклидовой геометрии. Спустя столетие Ламберт, о котором мы подробнее расскажем позже, также безуспешно попытался доказать постулат исходя из того, что углы А, В и D являются прямыми.

Исходя из гипотезы об острых углах, Саккери получил различные результаты неевклидовой геометрии. Например, он показал, что гипотезы о прямых, тупых и острых углах эквивалентны тому, что сумма внутренних углов треугольника равна, больше или меньше двух прямых углов соответственно. Он также доказал некоторые результаты, необычные для евклидовой геометрии. Вот один из них.

Пусть точка Р находится вне прямой линии l. Если мы рассмотрим все прямые, проходящие через Р, то увидим, что существуют две предельные прямые (в математических терминах они называются «асимптотическими»), обозначенные на рисунке буквами m и n. Они делят пучок всех прямых на две части, в одной из которых находятся все прямые линии, которые пересекают прямую l (например, пунктирная прямая s), а в другой — все прямые, которые не пересекают (например, пунктирная прямая l).

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - _36.jpg

Геометрия, построенная на гипотезе об острых углах и тем самым отрицающая пятый постулат, в наше время известна как гиперболическая.

На следующем рисунке показано, как в гиперболической геометрии выглядит предыдущий рисунок. Теперь прямые линии тип изображены в виде кривых не потому, что они действительно такие, а для того чтобы не возникло путаницы с евклидовой ситуацией. На таком рисунке хорошо видно, что представляют собой асимптотические прямые шип.

Представление прямых линий кривыми очень полезно для понимания и изучения гиперболической геометрии, каким бы нелогичным это ни казалось в евклидовом смысле.

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - _37.jpg

Работа Саккери содержит первые результаты этой новой геометрии. Достижение итальянского математика поразительно, но, к сожалению, ему не хватило смелости. Осознавая странность своих выводов, он пишет в предложении XXXIII своего трактата: «Гипотеза об острых углах является абсолютно ложной, поскольку противоречит самому понятию прямой линии». Казалось, что задача о параллельных прямых останется нерешенной еще многие годы.

Перейти на страницу:

Гомес Жуан читать все книги автора по порядку

Гомес Жуан - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mir-knigi.info.


Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии отзывы

Отзывы читателей о книге Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии, автор: Гомес Жуан. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор online-knigi.org


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*