Online-knigi.org
online-knigi.org » Книги » Научно-образовательная » Математика » Как не ошибаться. Сила математического мышления - Элленберг Джордан (читать книги полные .TXT) 📗

Как не ошибаться. Сила математического мышления - Элленберг Джордан (читать книги полные .TXT) 📗

Тут можно читать бесплатно Как не ошибаться. Сила математического мышления - Элленберг Джордан (читать книги полные .TXT) 📗. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте online-knigi.org (Online knigi) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:
Как не ошибаться. Сила математического мышления - i_023.png

Но разве это не окружность? Разумеется, нет! Это правильный многоугольник с 65 536 сторонами! Неужели вы не видите?

Великое озарение Евдокса и Архимеда состоит в том, что на самом деле не имеет значения, что это за фигура – окружность или многоугольник с очень большим количеством очень коротких сторон. Площади этих двух фигур достаточно близки для любых возможных целей. Площадь небольшой области между окружностью и многоугольником была «исчерпана» в процессе нашего неутомимого последовательного приближения. Да, окружность – это кривая, это действительно так. Но каждый крохотный фрагмент этой кривой можно приблизить к идеально прямой линии, подобно тому как крохотный кусочек поверхности Земли, на котором мы стоим, приближен к идеально ровной плоскости [39].

Следует запомнить девиз: локально прямая, глобально кривая.

Или лучше представьте: вы мчитесь по направлению к окружности с большой высоты; сначала вы видите всю окружность;

Как не ошибаться. Сила математического мышления - i_024.png

затем только один сегмент дуги окружности;

Как не ошибаться. Сила математического мышления - i_025.png

а затем еще более мелкий сегмент.

Как не ошибаться. Сила математического мышления - i_026.png

Продолжайте это до тех пор, пока, приближаясь все больше и больше, вы не увидите нечто напоминающее прямую линию. Ползущему по кругу муравью, видящему лишь пространство, непосредственно его окружающее, представляется, будто он ползет по прямой. Точно так же человеку, стоящему на поверхности Земли, кажется, что он стоит на плоскости (если только он не окажется настолько проницательным, что обратит внимание, как на горизонте поднимаются приближающиеся издалека объекты).

Суть математического анализа, изложенного на одной странице

Теперь я хочу объяснить вам суть математического анализа. Готовы? Вот идея, за которую мы должны благодарить Исаака Ньютона: в идеальном круге нет ничего особенного. Каждая гладкая кривая при достаточном увеличении масштаба напоминает прямую линию [40]. Не имеет значения, насколько изогнута или закручена эта кривая, – главное, что у нее нет острых углов.

Когда вы запускаете ракету, траектория ее перемещения выглядит так.

Как не ошибаться. Сила математического мышления - i_027.png

Ракета сначала движется вверх, а затем вниз, образуя параболическую дугу. Сила тяжести изгибает любую траекторию движения по направлению к поверхности Земли; это один из самых фундаментальных законов нашей физической жизни. Но, если мы увеличим масштаб и рассмотрим очень короткий отрезок этой кривой, она будет выглядеть так.

Как не ошибаться. Сила математического мышления - i_028.png

Затем так.

Как не ошибаться. Сила математического мышления - i_029.png

Как и в случае окружности, траектория движения ракеты кажется прямой линией, направленной вверх под определенным углом. Безусловно, эта линия отклоняется под действием силы тяжести, но подобное отклонение слишком незначительно, чтобы увидеть его невооруженным глазом. Приближение к еще более мелкому участку кривой делает линию еще больше похожей на прямую. Чем больше приближение, тем ровнее участок кривой.

А теперь сделаем концептуальный скачок. Ньютон сказал: послушайте, давайте пойдем до конца. Уменьшайте поле зрения до тех пор, пока оно не станет бесконечно малой величиной – настолько малой, что она будет меньше любого размера, который вы можете назвать, но все же не равной нулю. Вы изучаете траекторию движения ракеты не на протяжении очень короткого периода, а в один момент времени. В таком случае то, что было почти прямой линией, становится в точности прямой. Наклон этой кривой Ньютон называл флюксией, а мы называем производной.

Именно этот скачок не был готов совершить Архимед. Он понимал, что многоугольники с более короткими сторонами все более и более приближаются к окружности, но он никогда не говорил о том, что в действительности окружность представляет собой многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон.

Некоторые современники Ньютона также не разделяли его точку зрения. Наиболее активно возражал Ньютону Джордж Беркли, который критиковал концепцию бесконечно малых величин Ньютона в крайне издевательском тоне {23}, как, к сожалению, сейчас уже не пишут в математической литературе:

А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками (ghosts) исчезнувших величин? [41]

Тем не менее исчисление бесконечно малых все-таки работает. Если вы раскрутите привязанный к веревке камень над головой, а затем резко отпустите его, он улетит по прямолинейной траектории с постоянной скоростью [42] в направлении, в котором, согласно расчетам, он движется в тот момент, когда вы его отпускаете. Это еще одна идея Ньютона: движущиеся объекты склонны перемещаться по прямолинейной траектории, если какая-то другая сила не заставляет объект отклоняться в ту или иную сторону. Это и есть одна из причин, почему линейное мышление настолько естественно для нас: интуитивное восприятие времени и движения формируется у нас под воздействием явлений, которые мы наблюдаем в окружающем мире. Еще до того, как Ньютон сформулировал свои законы, мы, люди, в глубине души знали, что все вокруг нас стремится двигаться по прямой, если только нет причин двигаться иначе.

Бесконечно малые приращения и ненужные затруднения

Критики Ньютона в чем-то были правы: его толкование производной далеко от того, что в наши дни принято называть строгой математикой. Проблема заключается в концепции бесконечно малой величины, которая на протяжении тысяч лет была для математиков камнем преткновения. Трудности начались с древнегреческого философа V столетия до нашей эры Зенона, представителя Элейской школы, который часто задавал по поводу физического мира на первый взгляд невинные вопросы, неизменно перераставшие в серьезные философские дискуссии.

Представляю вам самый знаменитый парадокс Зенона в вольном переложении. Я решаю сходить в магазин за мороженым. Конечно, я не смогу преодолеть весь путь до магазина, пока не пройду половину этого пути. А как только я пройду половину пути, я все равно не смогу добраться до магазина, пока не преодолею половину оставшегося пути. Когда я сделаю это, мне все равно предстоит преодолеть половину оставшегося расстояния – и так далее. Я могу подходить к магазину все ближе и ближе, но, сколько бы этапов этого процесса я ни прошел, на самом деле мне так и не удастся добраться до магазина. У меня всегда будет оставаться пусть крохотное, но все же ненулевое расстояние до моих двух шариков мороженого. Эта аргументация применима к любому другому пункту назначения: в равной мере невозможно перейти улицу, или сделать один-единственный шаг, или взмахнуть рукой. Любое движение исключено.

Перейти на страницу:

Элленберг Джордан читать все книги автора по порядку

Элленберг Джордан - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mir-knigi.info.


Как не ошибаться. Сила математического мышления отзывы

Отзывы читателей о книге Как не ошибаться. Сила математического мышления, автор: Элленберг Джордан. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор online-knigi.org


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*