Online-knigi.org
online-knigi.org » Книги » Научно-образовательная » Математика » Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - Коллектив авторов

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - Коллектив авторов

Тут можно читать бесплатно Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - Коллектив авторов. Жанр: Математика / Прочая научная литература. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте online-knigi.org (Online knigi) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:
Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_43.jpg

Георг Кантор, около 1880 года.

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_44.jpg

Первая страница статьи «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел», опубликованной Кантором в 1874 году. В ней уже содержались некоторые из основных идей будущей теории бесконечности.

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_45.jpg

Карл Вильгельм Борхардт, издатель <Журнала Крелле· с 1856 по 1880 год.

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_46.jpg

Немецкий математик Леопольд Кронекер. Он был убежден в том, что вся теорема существования должна основываться на реальном построении и развиваться в конечное число этапов, а потому отверг теорию множеств, предложенную Кантором, и положил начало обширному спору.

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_47.jpg

РИС. 6

Теория [бесконечных множеств] — это область, в которой нет ничего очевидного, ее истинные положения часто звучат парадоксально, а кажущиеся истинными на самом деле являются ложными.

Немецкий математик Феликс Хаусдорф, 1914 год

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_48.jpg

РИС. 7

Основываясь на этой идее и исходя из свойств правильных многоугольников, уже известных в то время, Евдокс доказал, что площадь любой окружности пропорциональна площади квадрата, построенного на ее радиусе. Это означает, что если радиус окружности равен r, то его площадь высчитывается при умножении r2 на число, одинаковое для всех окружностей. В XVIII веке великий швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) обозначил это число греческой буквой π, и сегодня мы говорим, что площадь окружности равна π ∙ r2.

НЬЮТОН И ЛЕЙБНИЦ

Через 100 лет после Евдокса Архимед использовал похожий подход для того, чтобы рассчитать объем сферы, а также площадь и центр тяжести различных фигур, ограниченных кривыми. Ему также удалось получить наиболее точное значение числа π в истории Античности.

Тем не менее методы древнегреческих ученых были недостаточно обобщенными: для каждого вычисления требовалось отдельное построение, которое работало только для конкретного случая. Так, например, способ Евдокса вычислить площадь окружности не мог быть применен к эллипсу, все рассуждения грека относились только к окружности и ни к какой другой фигуре.

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_49.jpg

Правильный многоугольник с 4 сторонами

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_50.jpg

Правильный многоугольник с 7 сторонами

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_51.jpg

Правильный многоугольник с 11 сторонами

РИС. 8

С XVI века европейские математики принялись искать общий способ решения вопроса о площади фигур, ограниченных кривыми. Самых выдающихся результатов добились четверо математиков: Иоганн Кеплер (1571-1630), Бонавентура Кавальєри (1598-1647), Рене Декарт (1596-1650) и Пьер де Ферма (1601-1665). В конце XVII века Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Лейбниц (1646-1716), опираясь на достижения своих предшественников, независимо друг от друга нашли наконец общий метод расчета площади любой плоской фигуры. Это один из основных инструментов исчисления, и называется он интегральным.

РИХАРД ДЕДЕКИНД

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд родился 6 октября 1831 года в Брауншвейге, Германия. С детства он проявлял огромный интерес к наукам и постепенно сконцентрировался именно на математике. В 1848 году поступил в Карловский коллегиум, где преподавание соответствовало университетскому уровню, поэтому Дедекинд получил солидное образование в области алгебры, аналитической геометрии и исчисления. Он дополнил его в Геттингенском университете, куда поступил в 1850 году. Два года спустя он получил там степень доктора под руководством самого Карла Фридриха Гаусса, одного из величайших математиков в истории.

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_52.jpg
Достойный наследник

В 1855 году Гаусс умер, и Дедекинду предложили занять его кафедру. В том же году он начал тесно сотрудничать с Бернхардом Риманом, еще одним учеником Гаусса. Через несколько лет Дедекинд решил вернуться в Брауншвейг и в 1862 году стал преподавать математику в том же знаменитом Карловском коллегиуме вплоть до 1894 года. Однако он не оставил занятия математикой и внес важный вклад в развитие науки, особенно в области алгебры и исчисления. Дедекинд всю жизнь был холостяком и, вернувшись в Брауншвейг, поселился со своей незамужней сестрой Юлией. Рихард Дедекинд умер в Брауншвейге 12 февраля 1916 года.

Суть его в том, что любая фигура, даже если она полностью ограничена кривыми, может быть разделена на два фрагмента или более (их количество всегда конечное), необязательно равные между собой, так, что каждый из них ограничивается отрезком (см. рисунок 9).

Задача вычислить площадь фигуры сводится, таким образом, к вычислению площадей каждого из этих фрагментов. Представим, что отрезок, частично ограничивающий фигуру, который мы для удобства назовем основой, является частью числовой оси, ограниченной числами а и b. Предположим, что мы знаем математическую формулу, которая позволяет нам вычислить длину отрезка, соединяющего точку X с кривой, если на основе задана точках. Назовем эту длину у (см. рисунок 10).

Метод заключается в том, чтобы представить фигуру как образованную бесконечными перпендикулярными отрезками, соединяющими основу с кривой (на каждое число х приходится один отрезок). Таким образом, площадь фигуры равна сумме площадей этих отрезков. И все же эта мысль отсылает нас к парадоксу Аристотеля.

Как математическая точка обладает длиной, равной нулю, так и математический отрезок (у которого есть длина, но нет ширины и глубины) обладает площадью, которая тоже равна нулю. Следовательно, если мы представим площадь фигуры как сумму площадей отрезков, она будет равна 0 + 0 + 0 +... = 0.

Нам не удастся заменить отрезки прямоугольниками (площадь которых больше нуля), потому что в этом случае получится ситуация, похожая на нашу попытку заполнить окружность прямоугольниками: всегда будет оставаться незаполненная прямоугольниками часть (рисунок И).

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - img_53.jpg

РИС. 9

Мы можем вычислить площадь каждой из двух правых фигур, частично ограниченных отрезком.

Чтобы выйти из этого тупика, Ньютон и Лейбниц ввели понятия бесконечно малых и бесконечно больших, оказывавшие огромное влияние на исчисление до второй половины XIX века. Но они настолько неопределенны, что их очень сложно, если не невозможно, понять. Представим себе каждый перпендикулярный отрезок, проведенный к основанию, не как математический, а как прямоугольник с бесконечно малым основанием dx (см. рисунок 12). Это обозначение использовал Лейбниц, и оно до сих пор применяется в исчислении. Получается, что фигура — это не сумма отрезков, а сумма прямоугольников с бесконечно малым основанием. Замена отрезков на прямоугольники имеет двойную пользу. С одной стороны, поскольку основание каждого прямоугольника — это бесконечно малый отрезок (а не точка), то его площадь больше нуля, а значит, мы избегаем парадокса. С другой — поскольку основание прямоугольника — это бесконечно малая величина, ими можно заполнить всю фигуру так, чтобы не осталось пустых областей. Пусть основание каждого прямоугольника — dx, высота — у, а площадь — ydx. Чтобы вычислить площадь фигуры, теоретически мы должны были бы сложить все ydx для X между а и Ь. Лейбниц записывал это так:

Перейти на страницу:

Коллектив авторов читать все книги автора по порядку

Коллектив авторов - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mir-knigi.info.


Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике отзывы

Отзывы читателей о книге Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике, автор: Коллектив авторов. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор online-knigi.org


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*