Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Коллектив авторов (книги онлайн без регистрации .txt) 📗
Философию науки — в частности, математики — Аристотеля можно представить в виде схемы.
СОДЕРЖАНИЕ «НАЧАЛ»
Принято считать, что Евклид написал 13 книг с общим названием «Начала». Они изложены на койне с использованием символов, обозначающих геометрические понятия, в частности точки, величины и числа. Впоследствии к ним были добавлены еще две книги: книга XIV Гипсикла (ок. 190-120 до н.э.) и XV — неизвестного автора, возможно Исидора Милетского. Первое из более тысячи изданий «Начал» было сделано Эрхардом Ратдольтом (1442-1528) в Венеции в 1482 году, почти через 30 лет после публикации Библии Гуттенберга. Эрхард напечатал вариант с комментариями итальянского ученого Джованни Кампано (1220-1296), который, в свою очередь, опирался на перевод, сделанный английским монахом Аделярдом Батским (ок. 1080-1160). В первых четырех книгах не упоминается теория отношений. Они посвящены планиметрии, а не дидактике, и тем не менее сильно различаются.
— Книга I считается основной. В ней содержатся 23 определения, пять постулатов и пять общих понятий. Главная тема книги — теория треугольников. Представлены основы техники танграма для доказательств и построений с линейкой и циркулем. В конце книги — определение прямоугольных треугольников как таких, которые попадают под теорему Пифагора. Показаны дедуктивные возможности метода доведения до абсурда.
— Книга II содержит геометрическую алгебру, точнее элементарные алгебраические преобразования вида (х ± у)² = х² + у² ± 2ху, х² - у² = (х + у)(х — у) и их производные, но не с числами, а с размерами (отрезками), требующими построения; геометрическое решение линейных уравнений второго уровня из «Данных»; построение золотого сечения и теорема косинусов, обобщение теоремы Пифагора для непрямоугольных треугольников (остроугольных и тупоугольных). В книге есть два определения, а в заключении — предложение 14, недостающее звено для квадратуры многосторонних фигур.
— Книга III: геометрия окружности; И определений.
— Книга IV: построение правильных многоугольников при помощи линейки и циркуля: равностороннего треугольника (а также в первом предложении книги I), квадрата (предложения 6 и 7), пятиугольника (предложение И), шестиугольника (предложение 15) и 15-угольника (предложение 16). Содержит семь определений.
Авторство книг V и VI приписывается Евдоксу Книдскому. Эти тома легли в основу теоремы Фалеса для прямых и площадей многосторонних фигур и для вычисления площадей и объемов.
— Книга V имеет важнейшее значение для понимания древнегреческой геометрии в период Академии. Содержит 18 определений, среди которых особенно выделяются определения соотношения и пропорции. Устанавливает, для каких величин верна теория отношений.
— Книга VI содержит теоремы Фалеса, то есть теоремы о катетах прямоугольного треугольника, из которых выводится теорема Пифагора. Это очень важная книга. Одно из четырех ее определений, вероятно, не принадлежит Евклиду.
Книги VII, VIII и IX относят к пифагорейской школе, хотя есть и другие мнения. В этих книгах содержатся начала арифметики на основе теории частей или рациональных чисел.
— В книге VII определяется, что единица не является числом: согласно этой концепции «все, что есть, есть единица»; даются определения части и простого числа, основы деления, алгоритм и лемма Евклида. В книге 22 определения, последнее из которых — определение совершенного числа. Эти определения используются во всех трех книгах, посвященных арифметике.
— Книга VIII посвящена изучению непрерывных пропорций натуральных чисел — геометрических прогрессий со знаменателем 2.
— Книга IX содержит важную теорему о существовании бесконечного числа простых чисел, необходимую (и, возможно, достаточную) для установления основной теоремы арифметики.
— В книге X встречаются отсылки к Феодору и Теэтету. В ней рассматривается несоизмеримость и приводится классификация иррациональных линий. Это самая длинная, самая техническая и устаревшая из всех книг Евклида. Содержит 16 определений, не все из которых принадлежат Евклиду, и фигуры, используемые для построения Платоновых тел в книге XIII.
— В книге XII описывается метод исчерпывания. Это название было в свое время предметом споров, но в итоге осталось в веках. С его помощью вычисляется площадь круга и объемы пирамиды, конуса и шара. Это сложная книга; труднейшие задачи, изложенные в ней, решил только гениальный Архимед. Ее основное содержание приписывается Евдоксу.
— В книге XIII описывается построение пяти Платоновых тел — тетраэдра, гексаэдра (или куба), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра — и доказывается, что существуют только они. Октаэдр и икосаэдр, построение которых, видимо, не рассматривалось пифагорейской школой, были построены Теэтетом в Академии.
Математика как наука началась, когда некто, возможно какой-то грек, сформулировал предложения о чем-то, не описывая никаких особенностей этого нечто.
Альфред Норт Уайтхэд (1861-1947)
Всего в 13 книгах Евклида содержится 140 основных положений (130 определений, пять постулатов и пять общих понятий) и 465 вытекающих из них предложений (93 задачи и 372 теоремы), а также 19 поризмов и 16 лемм.
Книга XIV была написана Гипсиклом Александрийским во II веке до н. э. Самые важные ее результаты — установление соотношений между площадями и объемами Платоновых тел.
Авторство небольшой книги XV предположительно принадлежит Исидору Милетскому, составившему ее в VI веке. В ней рассматривается вписывание некоторых правильных многоугольников в другие.
Предложения одной книги часто зависят от предложений предыдущих (см. таблицу ниже). Книги VII, VIII и IX не зависят от других, поскольку при их чтении можно обойтись без остальных частей, введя нужные определения.
Остальные же построены вокруг двух концептуальных основ: книги I и книги V. Можно сказать, что в них собраны достижения, предшествовавшие Академии и последовавшие за ней. Книги с X по XIII сильно связаны с обоими источниками.
Книга I
Самостоятельная
Книга II
Опирается на книгу I
Книга III
Опирается на книгу I, а также на предложения 5 и 6 книги II
Книга IV
Опирается на книгу I, на предложение II книги II и на книгу III
Книга V
Самостоятельная
Книга VI
Опирается на предложения 27 и 31 книги III, а также на книги I и V
Книга VII
Самостоятельная
Книга VIII
Опирается на определения из книгУ и VII
Книга IX
Опирается на предложения 3 и 4 из книги II, а также на книги VII и VIII
Книга X
Опирается на предложения 44 и 47 из книги I, на книгу II, на предложение 31 из книги III, на книги V и VI, на предложения 4, 11, 26 из книги VII, на предложения 1, 24, 26 из книги IX
КнигаХI
Опирается на книгу I, на предложение 31 из книги III, на предложение 1 из книги IV, на книги V и VI
Книга XII
Опирается на книги I и III, на предложения 6 и 7 из книги IV, на книги V и VI, на предложение 1 из книги X и на книгу XI
Книга XIII
Опирается на книгу I, на предложение 4 из книги II, на книги III, IV, V, VI, X и XI
Взаимосвязь разных книг «Начал».
