Алхимия человеческого духа - Кэрролл Ли (электронные книги бесплатно TXT) 📗
Если обратиться к основополагающим элементам и методам математики, то можно увидеть, что для выражения математических концепций существует всего лишь два пути: при помощи аппарата математики прямых линий и математики кривых, или линейно-угловой математики, которую отвергают.
Двадцать шесть столетий традиции и исследования и эксплуатации математики прямых линий запе-чатлели ее в умах математически мыслящих людей как некий свод священных предписаний, который сле-дует всеми силами защищать от посягательств. Это важное утверждение, поскольку оно ставит под сомне-ние объективность, на которую претендуют математики. Можно наглядно продемонстрировать, что совре-менная математика основывается на предписаниях, и поэтому следует поставить под серьезное сомнение правомерность ее отказа от «абсолютных величин» и увлечения «самодостаточными логическими система-ми».
Вместо математики, которую можно в общем определить как «изучение и описание универсальных истинных вероятностей», мы сегодня имеем нагромождение византийских зданий, построенных на палубе корабля, с которого снят руль. Тот факт, что математика является поприщем самых совершенных и бле-стящих логических умов, которые когда-либо порождало человечество, наводит особенно глубокий ужас на тех, кто хотел бы покритиковать современное положение дел.
Логика — это основной инструмент математика. И прекрасный инструмент. Логика утверждает, что нечто может быть «истинным, ложным или неопределенным». Для того чтобы прийти к этому определе-нию, она сводит любую задачу к базовым элементам. Тот факт, что логика является столь неотъемлемой частью математики, притупляет внимание многих, порождая иллюзию того, что «все хорошо».
О чем забывают (или просто приуменьшают значимость этого), — это о том, что в любых математиче-ских выкладках есть слабое звено. Это утверждения a priori (самоочевидные предположения), на которых строятся дальнейшие логические заключения. Каждый серьезный математик знает о старом примере, ил-люстрирующем «проблему соизмеримости». Он заключается в том, что при рассмотрении двух произволь-ных отрезков прямой можно найти третий, длина которого будет равняться отношению первых двух, вы-раженному в целых единицах. Эта истина казалось несложной до тех пор, пока ее не подвергли анализу с точки зрения логики, что, в свою очередь, привело к открытию иррациональных чисел (чисел, которые нельзя выразить в виде конечных дробей). Это открытие чуть ли не развалило, и уж точно остановило рост греческой «науки о числах» (арифметики).
Греки утверждали, что арифметика является «матерью всей остальной математики». И именно нечи-словая геометрия опровергла представление о том, что Вселенную можно описать при помощи одних лишь целых чисел. Этот урок древних также не был понят в полной мере (виду смягчающих для древних обстоя-тельств), и современная математика не приняла его во внимание. К нечисловой геометрии в математиче-ских кругах в общем сегодня относятся чуть ли не с пренебрежением. Их представители, подобно Декарту (отцу современной науки), произвольным образом приняли постулат о том, что всю логику можно выра-зить при помощи средств алгебраической теории и теории чисел. Далее, опять-таки подобно Декарту, они приняли и возвели в ранг святыни постулат о том, что все формы можно описать при помощи прямого угла и нескольких других формул прямолинейной геометрии (т.е. теоремы Пифагора). Говоря короче, изучение феноменов Вселенной они проводят исключительно при помощи аппарата математики прямых линий.
И этому есть причина. Она заключается в простом арифметическом утверждении N + 1 (где N — лю-бое число), выражающем основополагающее предположение арифметики, которое звучит так: «К любому числу можно прибавить единицу». Если вы начнете с 1, прибавите еще 1, и так далее до бесконечности, что вы получите? Вы получите арифметическую прямую 1 + 1 + 1 + 1… а также соответствие между нечисло-вой геометрией прямолинейной структуры формы и линейным увеличением в теории чисел. Отсюда выте-кают все остальные математические дисциплины. Следует отдавать себе отчет в том, что, какие бы экзоти-ческие случаи ни возникали для описания перед современной математикой, они все же, по своей сути, яв-ляются арифметическими, геометрическими или представляют собой комбинацию того и другого. Из этого исключений нет.
Наша современная математика, при помощи которой мы отправили человека на Луну, по своей сути не изменилась с тех дней, когда люди сражались друг с другом на колесницах медным оружием! Прочную и окостеневшую традицию нашей математики энергично защищают от попыток поставить под сомнение правомерность повсеместного употребления прямолинейного подхода, и это вопреки отсутствию каких бы то ни было свидетельств того, что миром природных форм правят линейные закономерности. Например, что касается утверждения «свет естественным образом распространяется по прямой», то мы просто пред-полагаем это, пренебрегая тем, что естественной траекторией его движения может быть дуга, которую мы на данном этапе пока не можем обнаружить. Почему свет должен отличаться от всего остального в приро-де? Математические круги отстаивают традиционные взгляды и предписания, которые превратились в не-что вроде культа усопших, почитаемых выше основополагающих принципов объективности и единства. Они думают, что поскольку единство невозможно обнаружить исходя из принципов линейности, то, следо-вательно, его не существует. Они скорее скажут, что единства и истины в абсолютных терминах не сущест-вует, чем допустят, что их математика может ошибаться. Этим в логике они закладывают фундамент, о ко-торый разбиваются все другие устремления человека. Это поразительный случай коллективной спеси.
Какое значение имеет выбор типа линий (прямая или дуга)? В настоящее время математика допуска-ет легкое равенство и отрицает иерархичность. Это равенство позволяет описывать криволинейные формы в терминах прямых (число? — классический пример этому). Там, где греки надеялись, что это равенство истинно, современная математика решает заставить Вселенную пойти на уступки эгоистическому жела-нию вбить круглый кол в квадратное отверстие, да еще чтобы при этом не было никакие зазоров. В сущно-сти, в этом и состоит основная задача математического счисления.
Что же определяет, в абсолютном смысле, свойства прямых и кривых линий? Прямая линия — это «ряд одинаковых точек, которые никак не связаны с точками, находящимися вне этого ряда». Кривая линия — это «ряд точек, связанных с точкой (точками), находящейся (находящимися) вне этого ряда». Это очевидно. Нарисуйте кривую линию, и вы увидите, что значит «внешнее» и «внутреннее». Далее, если сде-лать сечение пополам двух любых сегментов этой кривой прямыми линиями, то эти секущие пересекутся в центре (центрах) этой линии. Таким образом, для прямой линии необходимо по крайней мере две точки, а в кривой, по сути, присутствуют три. Третья точка (т.е. центр) не всегда присутствует явно, но ее легко найти. Это похоже на секрет, который кривая желает сохранить.
Дальнейшие логические заключения неизбежно показывают, что прямые линии всегда и бесспорно являются линиями низшего порядка по отношению к кругу (статическая геометрия). Это то, чего так упорно старался не допустить Евклид в свою геометрию (которой мы, конечно же, пользуемся и по сей день, за исключением случаев, когда она выражается при помощи арифметики [аналитическая геометрия]). Я нашел, по крайней мере, 15 явных ошибок в евклидовой геометрии, которые в настоящее время либо за-малчиваются для широкого читателя по соображениям цензуры, либо вообще «неизвестны». Они постоян-но указывают на то, что Евклид разработал лишь последовательность предписаний. Евклидова геометрия была попыткой спасти арифметику греков, но если он и заслуживает похвалы за свои старания спасти нау-ку о числах, то математиков наших дней следует призвать к ответу за принадлежность к культу почитания человеческой математики, которая навязывается в качестве «объективной».
