Online-knigi.org
online-knigi.org » Книги » Справочная литература » Энциклопедии » Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" (книги без регистрации полные версии .TXT) 📗

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" (книги без регистрации полные версии .TXT) 📗

Тут можно читать бесплатно Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" (книги без регистрации полные версии .TXT) 📗. Жанр: Энциклопедии. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте online-knigi.org (Online knigi) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:

  Интегральный признак сходимости: если функция f (х) определена при всех х ³ 1, неотрицательна и убывает, то Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-169612761.png
     (7)

сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-195281783.png
.

С помощью этого признака легко устанавливается, что Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-113057649.png
     (8)

сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.

  Признак сравнения: если для двух Р. (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что 0 £ un  £ c un, то из сходимости Р. (6) следует сходимость Р. (1), а из расходимости Р. (1) — расходимость Р. (6). Обычно для сравнения берётся Р. (8), а в заданном Р. выделяется главная часть вида А/n a. Таким методом сразу получается, что Р. с n-м членом

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-131160424.png
,

где

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-100705105.png

сходится, поскольку сходится Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-173213174.png
.

  Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-169101252.png

то при a > 1 и 0 £ k < + ¥ Р. сходится, а при a £ 1 и 0 < k £ + ¥ Р. расходится. Так, например, Р. с n-м членом un = sin (1/n 2) сходится, ибо

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-119497827.png
 (a = 2)

a Р. с un = tg (p/n) расходится, здесь

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-111643121.png
  (a = 1)

  Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения. Признак Д'Аламбера: если существует

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-119951858.png
 (un > 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 — расходится; и признак Коши: если существует
Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-182770387.png
  (un ³ 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 P. расходится. При I = 1 как в случае признака Д'Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Р.

  Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-119532280.png
.

  Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-186726076.png

абсолютно сходится, а Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-188229094.png

сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-189180013.png
     (9)

— P., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений umun членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s1 и s2, то s = s1s2, т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.

  Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-121513650.png
.

Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-151950628.png
,

то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Например, признак Лейбница: если

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-166037470.png
,
Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-145223875.png
,

то знакочередующийся Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-146315260.png
     (10)

сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-133778913.png
.     (11)

Признак Абеля: если последовательность {an} монотонна и ограничена, а Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-151670814.png

сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность {an} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-196117543.png

ограничена, то Р. (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-102130245.png

сходится при всех действительных a.

  Иногда рассматриваются Р. вида

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-160294430.png
.

  Такой Р. называется сходящимся, если сходятся Р.

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-137250734.png
 и
Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-124633889.png

сумма этих Р. называется суммой исходного Р.

  Р. более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Р. вида

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-135617039.png
,

где

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-132498804.png
  заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные k индексами, n1, n2,..., nk, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа — двойные ряды.

  Для некоторых числовых Р. удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Например, для суммы геометрической прогрессии (2)

rn = qn+1/(1 - q), ½q½< 1,

для P. (7) при сделанных предположениях

Большая Советская Энциклопедия (РЯ) - i-images-194605582.png
,

а для P. (10)

½rn½ £ un+1

С помощью некоторых специальных преобразований иногда удаётся «улучшить» сходимость сходящегося Р. В математике используются не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р. (см. Суммирование рядов и интегралов). Так, например, расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к 1/2.

Перейти на страницу:

Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" читать все книги автора по порядку

Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mir-knigi.info.


Большая Советская Энциклопедия (РЯ) отзывы

Отзывы читателей о книге Большая Советская Энциклопедия (РЯ), автор: Большая Советская Энциклопедия "БСЭ". Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор online-knigi.org


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*