До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - Коллектив авторов (читать книги онлайн бесплатно полностью без сокращений TXT) 📗
C - A + V = 2,
а также определение прямой Эйлера. К этому периоду относятся работы над проблемой Гольдбаха, самой знаменитой теоремой о числах после Великой теоремы Ферма, и исследования в области вариационного исчисления, имевшего огромное значение для физики. Именно в Берлине Эйлер написал трактаты, посвященные анализу (возможно, это самые гениальные его сочинения), а также труды по инженерному делу и механике.
Последний этап своей жизни Эйлер вновь провел в Санкт- Петербурге. Ему было уже больше 50 лет, он испытывал большие трудности со зрением, но до самой смерти продолжал писать научные статьи. Ставший легендой мировой математики еще при жизни, в этот период Эйлер в основном занимался теорией чисел, в частности простыми числами (и связанными с ними, такими как числа Мерсенна и дружественные числа), диофантовыми уравнениями и разбиением множеств. Он также нашел время для более легкомысленных задач — магических квадратов и других математических игр — и даже создал игру для детей (круги Эйлера), дошедшую до наших дней. Кроме того, он написал превосходную научно-популярную работу о вопросах механики и астрономии, которую посвятил принцессе Ангальт-Дессау.
1707 15 апреля в Базеле, Швейцария, родился Эйлер.
1720 При поддержке Иоганна Бернулли Эйлер в возрасте всего лишь 13 лет поступает в Базельский университет.
1723 Получает степень магистра философии за сравнительный анализ идей Декарта и Ньютона.
1727 Не получив место профессора физики в Базельском университете, переезжает в Россию.
1731 Становится профессором физики в Петербургской академии наук. Положение, которое он теперь занимает, делает его фигуру одной из самых влиятельных среди ученых.
1734 Женится на Катерине Гзель, дочери художника Академии. У них будет 13 детей, из которых выживут только пять.
1735 Ученый начинает терять зрение, что, тем не менее, не мешает ему решить знаменитую Базельскую задачу и прославиться в научном мире.
1736 Выходит первая книга Эйлера. Он решает задачу о мостах Кенигсберга. Известность ученого продолжает расти.
1741 Принимает предложение Фридриха II, короля Пруссии, и вместе с семьей переезжает в Берлин, где получает место в Академии.
1742 Эйлер и Гольдбах в переписке обсуждают задачу, позже названную проблемой Гольдбаха.
1748 Эйлер публикует один из самых известных своих трудов — 4 Введение в анализ бесконечно малых", — в котором рассматривает в основном математические функции.
1755 Издается еще одна фундаментальная работа ученого — "Дифференциальное исчисление".
1766 Вследствие идейных расхождений с Фридрихом II Эйлер снова уезжает в Россию.
1768 Выходит третье сочинение Эйлера
1770 по математическому анализу — "Интегральное исчисление".
1771 На здоровом глазу Эйлера образуется катаракта. Он полностью теряет зрение, но это только улучшает его способности считать в уме.
1783 18 сентября в Санкт-Петербурге Эйлер умирает от кровоизлияния в мозг.
ГЛАВА 1
Базель, колыбель великого математика
Базель был прекрасным местом для начала научной карьеры, особенно в области математики.
Этот город был интеллектуальным центром высочайшего уровня, здесь располагался лучший университет Швейцарии и жили многие члены семьи Бернулли, самой знаменитой династии математиков в истории.
Именно они оказали покровительство молодому и многообещающему Эйлеру и привили ему любовь к анализу, которую он пронес через всю свою жизнь.
Базель — город в Швейцарии, занимающий стратегическое положение у границы с Францией и Германией. Он расположен на берегу Рейна недалеко от водопадов, которые делают невозможным речную навигацию. Сейчас в нем вместе с пригородами проживает 750 тысяч человек. Здесь находится самый старый в Швейцарии университет и многочисленные исторические памятники. В Базеле родились и жили такие выдающиеся деятели, как Андреас Везалий, Карл Густав Юнг, Эразм Роттердамский, Фридрих Ницше и Парацельс, а также семья Бернулли. Сегодня самый известный житель Базеля — теннисист Роджер Федерер. Более образованные горожане предпочитают упоминать Эразма Роттердамского, который, хоть и родился не здесь, жил и умер в Базеле. Среди ученых и в особенности математиков самым выдающимся сыном Базеля считается Леонард Эйлер, родившийся здесь более 300 лет тому назад.
Эйлер был математиком, инженером, физиком, астрономом, философом, архитектором, музыкантом и иногда теологом, одним из самых влиятельных ученых XVIII века и одним из самых плодовитых в истории науки. Его именем названо множество математических явлений. Привести их полный список было бы проявлением излишнего педантизма, но в качестве примера необходимо упомянуть хотя бы эти: формула Эйлера, углы Эйлера, характеристика Эйлера — Пуанкаре, прямая Эйлера, формула Эйлера — Маклорена, теорема Эйлера — Лагранжа, теорема вращения Эйлера, теорема Эйлера о треугольниках, эйлеров цикл, круги Эйлера, эйлеров параллелепипед и еще около 140 названий, в зависимости от источника.
ЭЙЛЕР И СЕМЬЯ БЕРНУЛЛИ
Семья Эйлера ничем не была примечательна. Его отец, Пауль Эйлер, был пастором, а мать, Маргарита Брукер, — домохозяйкой и дочерью пастора. Леонард был старшим из четырех детей, у него было две сестры — Анна Мария и Мария Магдалена — и брат Иоганн Генрих, ставший довольно известным художником.
У Пауля Эйлера было неплохое математическое образование, поскольку в свое время он учился у Якоба Бернулли (1654-1705), выдающегося математика и основателя знаменитой династии, а также дружил с его братом Иоганном (1667— 1748), который был младше Якоба на 13 лет. Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года. Отец хотел, чтобы он тоже стал пастором и в надлежащее время начал "пасти своих овец", но сыну была уготована другая судьба.
Юный Леонард уже в школе отличался большими способностями к языкам: хорошо говорил на немецком и французском, прекрасно знал латынь, достиг успехов в изучении иврита и греческого, как и ожидалось от будущего священника, и приступил к философии.
Считается, что, воспользовавшись дружбой своего отца с Иоганном Бернулли, Эйлер попросил его давать ему по субботам уроки математики. Так его преподаватель, один из крупнейших математиков эпохи, обнаружил у мальчика феноменальные способности к этой науке.
Гений Эйлера проявился в очень раннем возрасте: в 13 лет он поступил в университет, в 1723 году стал магистром философии, написав работу о теоретических различиях вселенных, вытекающих из учений Декарта и Ньютона. Иоганн Бернулли продолжал следить за успехами Эйлера и, хотя по характеру был очень скуп на похвалу, считал его гением.
СЕМЬЯ БЕРНУЛЛИ
Если попросить назвать четырех ученых, живших до XX века и занимающих математический олимп, то общепринятым ответом будет: Архимед, Ньютон, Эйлер, Гаусс. Если же попробовать выделить кого-то одного, задача усложнится. Многие проголосовали бы за разностороннего математика, представленного целой семьей Бернулли. Эта научная династия включала отцов, сыновей и братьев, которые оказывали влияние на науку на протяжении более 100 лет. В этой семье частенько возникали ссоры на почве математических расхождений, и некоторые из них имели серьезные последствия. Например, Якоб, основатель династии, написал в своем завещании, что запрещает своему брату Иоганну читать его научные записи; а тот, в свою очередь, обвинил своего сына Даниила в плагиате своей работы по гидродинамике. Более века (а точнее, 150 лет без перерыва) главой кафедры математики Базельского университета был представитель семьи Бернулли, и до середины XX века, то есть более 250 лет, в этом городе не было Бернулли без кафедры.
