До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - Коллектив авторов (читать книги онлайн бесплатно полностью без сокращений TXT) 📗
Значение семьи Бернулли
Самыми важными достижениями Бернулли считаются использование полярных координат, углубленное изучение лемнискаты и логарифмической спирали, решение различных задач по теории вероятностей и рядов, знаменитая задача по гидродинамике, названная их именем, и правило Бернулли — Лопиталя. Математический анализ получил огромное развитие именно благодаря этой семье и, усилиями Иоганна, стал любимой дисциплиной Эйлера.
Гравюра 1784 года, изображающая Иоганна и Якоба Бернулли, занятых решением геометрических задач.
ИОГАНН БЕРНУЛЛИ, АНАЛИЗ И БРАХИСТОХРОНА
Иоганн Бернулли оказал решающее влияние на образование и научные интересы Эйлера, а о важности его роли в науке стоит поговорить отдельно. Он был выдающимся математиком, возможно самым ярким из всей семьи, но его отец желал, чтобы тот стал торговцем, а затем врачом. В конце концов Иоганн посвятил себя математике, как и старший брат Якоб, всегда оказывавший ему поддержку, хотя их отношения периодически омрачались соперничеством и ссорами.
Иоганн был довольно самонадеян, часто оказывался в центре споров и дискуссий, в том числе и с членами своей семьи. Сделав открытие, он всегда претендовал на первенство, несмотря на то что другие сделали такое же открытие раньше него. Иоганна даже обвиняли в том, что он лгал, выдавая чужие открытия за свои.
Он был не только великим математиком, но и настоящим кладом для историков, которые благодаря ему смогли узнать множество анекдотов, например о случае с маркизом де Ло- питалем (1661-1704), богатым аристократом и великолепным математиком. Лопиталь заключил с Бернулли необычный интеллектуально-экономический договор: за плату маркиз получал право доступа к открытиям Иоганна и мог выдавать их за свои. Фундаментальные для математического анализа инструменты, такие как правило Лопиталя — Бернулли, увидели свет под именем маркиза, хотя на самом деле были открыты Иоганном. Великолепная книга маркиза де Лопиталя "Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий" была встречена читателями с восторгом, но сегодня мы знаем, что авторство он должен разделить с Бернулли. После смерти маркиза Иоганн предъявил права на все, что на самом деле было открыто им, но прошло некоторое время, прежде чем ему поверили.
В июне 1696 года, еще до рождения Эйлера, на страницах первого научного журнала в истории Acta emditorum ("Деяния ученых"), издаваемого в Лейпциге, Иоганн Бернулли бросил вызов своим коллегам: на основе заданных точек А и В, где А находится на высоте, отличной от В, найти траекторию, которую опишет тело, двигаясь от одной точки к другой под действием только силы притяжения. Разумеется, у самого Иоганна уже было решение (которое, как выяснилось позже, было не совсем верным), и он просто хотел проверить своих коллег и в особенности брата Якоба. В мае 1697 года в Acta eruditorum были опубликованы правильные результаты, в которых искомой кривой признавалась циклоида с началом в точке А и максимумом в В (см. рисунок).
Циклоида — это кривая, описанная точкой на окружности, которая катится по прямой.
Среди знаменитых ученых, нашедших правильное решение, были Лейбниц и Якоб Бернулли. Превосходное, но анонимное решение пришло из Лондонского Королевского общества. Прочитав его, Иоганн понял, что за ним стоял гениальный Ньютон. Считается, что он сказал фразу "лев узнается по своим когтям", которая стала популярной как аллегорическая похвала английскому ученому.
Как мы уже видели, циклоида — это кривая, которая в определенном случае может быть названа брахистохроной (от греческого "брахистос" — "самый короткий" и "хронос" — "время"). Все вышеперечисленные события вошли в историю математики как задача о брахистохроне. Много лет спустя Эйлер также обратился к циклоиде и брахистохроне, занимаясь вариационным исчислением — сильнейшим методом, созданным им вместе с Жозефом Луи Лагранжем (1736-1813) и оказавшим огромное влияние на развитие механики.
ПЕРВЫЕ ШАГИ ГЕНИЯ
Иоганн Бернулли пытался убедить Пауля, что будущее его сына заключается не в сане священника и не в теологии, а в математике. Эйлер подавал огромные надежды.
В 1726 году, в возрасте 19 лет, Эйлер уже был доктором наук. Его диссертация — назовем эту работу современным термином — была посвящена распространению звука и называлась Dissettatio physico de sono ("Диссертация по физике о звуке"). Научным руководителем юноши был Иоганн Бернулли. Эта работа могла обеспечить Эйлеру оставшуюся свободной кафедру в Базельском университете, но это было маловероятно, учитывая его юный возраст. Как и следовало ожидать, должности он не получил.
В 1727 году Эйлер принял участие в Grand Prix Парижской академии наук, предложив решение задачи о том, где лучше всего размещать мачты на корабле. Нельзя не увидеть в этом иронию судьбы: конкурс, посвященный навигации, собирался выиграть "сухопутный" Эйлер. Как пишет биограф Эйлера Эмиль Фельман, самой большой массой воды, которую тот видел в своей жизни, был Рейн, поэтому, как и большая часть населения Швейцарии, юноша был чрезвычайно далек от вопросов навигации. Так или иначе, Эйлер принял участие в конкурсе и, хоть и не выиграл его, получил медаль с отличием и приобрел известность в научном сообществе. Победителем стал Пьер Бугер, ординарный профессор 28 лет и непревзойденный специалист по гидродинамике. Юный Эйлер, изучив работы Вариньона, Галилея, Декарта, Ньютона, Ван Схотена, Германа, Тейлора, Валлиса и Якоба Бернулли, начинал демонстрировать первые проблески своего гения.
СПИРАЛЬ БЕРНУЛЛИ
Якоб Бернулли, как истинный геометр, был поражен характеристиками и видом логарифмической спирали, этой винтообразной кривой, упрощенное уравнение которой в полярной системе координат выглядит так: r = аα, где радиус r экспоненциально зависит от угла α. Ее называют spira mirabilis (удивительная спираль). Очарование Бернулли этой спиралью дошло до того, что он подал официальное прошение о том, чтобы она была высечена на его могиле вместе со словами Eadem mutata resurgo (измененная, я вновь воскресаю). Сказано — сделано. Однако Бернулли не принял в расчет скульптора, делавшего надгробие. Вместо логарифмической спирали тот высек архимедову спираль, поскольку для мраморных дел мастера все они были одинаковы. Зная, каким вспыльчивым характером обладает младший брат Якоба, которому тот передал свою страсть к этой спирали, можно только надеяться, что Иоганн не встретил скульптора на том свете.
На надгробии Якоба Бернулли была высечена не логарифмическая спираль, а спираль Архимеда (см. нижнюю часть иллюстрации), в которой расстояние между витками одинаково.
Логарифмическая спираль не имеет ни начала, ни конца. В природе она встречается в приближенном виде — спираль ураганов и некоторых галактик.
Тем временем выдающиеся математики из разных государств Европы (в особенности Германии и стран, находившихся под ее культурным влиянием), работавшие в то время в России, плели целую сеть, чтобы поймать в нее многообещающего молодого ученого. Одним из них был Кристиан Гольдбах (1690— 1764), с которым Эйлер вел переписку уже на протяжении нескольких лет и о котором мы поговорим позже.
