Наука Плоского Мира III: Часы Дарвина (ЛП) - Стюарт Йен (читать книги txt) 📗
В отеле Гилберта находится бесконечное число номеров. Все они пронумерованы: 1,2,3,4 и так до бесконечности. Это пример фактической бесконечности — каждый номер существует сейчас и номер под номером энный газилион и один ещё не построен. И вот когда один воскресным утром вы туда приезжаете, то выясняется что все номера заняты.
В отеле с фиксированным количеством номеров, даже если их миллиард миллиардов и еще одна, это будет проблемой. Никакое количество толкущихся вокруг людей не может создать дополнительную комнату (для упрощения задачи условимся, что нормы безопасности и здравоохранения не позволяют подселить в номер второго человека).
Однако, в отеле Гилберта всегда есть комната для еще одного постояльца. Не под номером «бесконечность»,конечно, такой комнаты просто нет. Под номером «один».
А что же делать невезучему из первого номера? Он переезжает в комнату номер «2». Постоялец второй комнаты переезжает в третью, и так далее. Постоялец миллиард- миллиардной комнаты переезжает в комнату «миллиард-миллиардная и один», а хозяин миллиард-миллиардной и один — в миллиард-миллиардную и два. Постоялец комнаты под номером «N» просто переходит в комнату «N+1», и это работает для любого числа N.
В отеле с конечным числом комнат такая штука не прокатит. В нем нет комнаты под номером «миллиард-миллиардная и два», в которую мог бы переселиться постоялец из миллиард-миллиардной и один. В отеле Гилберта комнат бесконечное множество, поэтому каждый может переместиться в соседний номер. Как только это действие совершено, отель снова заполнен доверху.
Но это ещё не всё. В понедельник в совершенно полный отель Гилберта приезжает группа туристов. И нет проблем: управляющий переселяет всех на пятьдесят номеров вперёд. — номер 1 в 51, номер 2 — в 52, и так далее, в результате чего номера с 1-50 остаются свободными для всех туристов.
Во во вторник прибывает бесконечно большая группа туристов, содержащая бесконечное число людей, услужливо пронумерованных A1, A2, A3… Уверены, что на них не хватит номеров? Однако они есть. Уже поселенные гости переселяются в номера с чётными: гость из первого номера переезжает во второй, гость из второго номера переезжает в четвёртый, гость из третьего переезжает в шестой. и так далее. Затем, когда освободятся нечётные номера их занимают новоприбывшие гости: A1 отправляется в 1 номер, A2 отправляется в 3 номер, A3 отправляется в 5 номер. Ничего сложного.
К среде управляющий уже рвёт на себе волосы, потому что бесконечные группы туристов всё появляются и появляются. Группы именуются буквами A, B, C.. из бесконечно долго алфавита, а люди в них — A1, A2, A3…, B1, B2, B3… C1, C2, C3…
.. и так далее. Но у управляющего появляется блестящая идея. На бесконечно большой парковке около бесконечно большого отеля он распределяет всех новых гостей в виде бесконечно большого квадрата: Al A2 A3 A4 A5…
Б1_Б2_Б3_Б4_Б5…
В1_В2_В3_В4_В5…
Г1_Г2_Г3_Г4_Г5…
E1_E2_E3_E4_E5…
Затем он выстроил их в одну бесконечно длинную прямую, в порядке А1-А2 Б1- А3 Б2 В1 — А4 Б3 В2 Г1 — А5 Б4 В3 Г2 Е1…
Чтобы понять смысл, посмотрите на диагонали, идущие из правого верхнего угла в левый нижний. Мы использовали дефисы, чтобы их разделить. Большинство людей предпочтет снова переселить уже живущих постояльцев в четные номера и заполнить нечетные новоприбывшими. Это сработает, однако есть и более элегантный метод, и управляющий, будучи математиком, немедленно его находит. Он загружает всех обратно в бесконечный автобус фирмы, распределяя места в порядке их следования в линии. Это оставляет только одну проблему, которая уже была решена ранее [62].
Отель Гилберта призывает нас к осторожности, когда мы делаем предположения относительно бесконечности. Она может быть не похожей на обычное конечное число. Если вы добавите к бесконечности единицу, она не станет больше. Если вы умножите бесконечность на бесконечность она всё равно не станет больше. Вот что такое бесконечность. Фактически проще сделать вывод о том, что любое действие с бесконечностью будет равняться бесконечности, потому что вы не сможете получить ничего больше чем бесконечность.
Вот как все считали, и это действительно так, но только если все ваши потенциальные бесконечности состоят из конечного числа шагов, которые вы делаете бесконечно долго.
Но в 1880 году Кантор поразмыслил о фактических бесконечностях и открыл ящик Пандоры с бесконечностями всех размеров. Он назвал их трансконечными числами и обнаружил их когда работал в классической, традиционной области анализа. Они были чертовски сложными штуками и привели его в ранее неизведанные закоулки. Погрузившись в глубокие размышления о природе этих вещей, Кантор отвлёкся от своей работы в совершенно респектабельной области анализа, и начал думать о более сложных вещах.
О подсчете.
Обычный способ знакомства с числами — это научить детей считать. Они узнают, что числа это «штуки, которые используются для счёта». Вот к примеру «семь» это там где вы окажетесь если начнёте считать с понедельника до воскресенья. Так что количество дней в неделе равно семи. Но что за зверь это «семь»? Слово? Нет, потому что вместо него можно использовать символ 7. Символ? Но тогда вместо него есть слово, и в любом случае, в какой-нибудь Японии используется совсем другой символ. Так что же такое семь? Легко сказать что такое семь дней, семь овец или семь цветов радуги… но что само по себе значит число? Вы вряд ли сталкивались с явной семёркой, она всегда соотносится с некой совокупностью вещей.
Кантор решил превратить нужду в добродетель и заявил, что число — это что-то, имеющее отношение к набору или скоплению вещей. Вы можете собрать набор из вообще любой коллекции вещей. Интуитивно понятно, что номер, который вы получите во время подсчета показывает, сколько вещей принадлежат к этому набору. Количество дней в неделе определяется числом «семь». Удивительная особенность подхода Кантора заключается в следующем: вы можете узнать, находятся ли в другом наборе семь предметов без каких-либо подсчетов. Для этого вам лишь нужно соотнести члены наборов друг с другом так, чтобы каждому члену из первого набора был подобран элемент из второго. Если, к примеру, второй набор — это цвета спектра, то наборы будут соотнесены таким образом: понедельник — красный, вторник — оранжевый, среда — желтый, четверг- зеленый, пятница — голубой, суббота — фиолетовый [63], воскресенье — октариновый.
Порядок, в котором вещи будут пронумерованы абсолютно неважен. Но нельзя соотносить вторник сразу и с фиолетовым, и с зеленым, или зеленый и со вторником, и с воскресеньем. Или пропускать некоторые элементы.
К примеру, вы попадете в беду, если захотите соотнести дни недели со слонами, на которых стоит Диск: воскресенье- Берилия, понедельник- Тьюбул, вторник- Великий Т’Фон, среда-Джеракин, а четверг?
Точнее, у вас кончатся слоны. Даже если мифический пятый слон возьмет на себя четверг.
В чем разница? Ну, в неделе семь дней, а в спектре семь цветов, поэтому вы можете соотнести эти два множества. А вот слонов у вас всего четыре (ну, может, пять), а четыре или пять никак нельзя приравнять к семи.
Глубокий философский смысл здесь в том, что вам не нужно знать чисел четыре, пять и семь, чтобы обнаружить что нет никакого способа соотнести эти два множества. Разговор о величине цифр подобен размахиванию кулаками после драки. Соотнесение логически первостепенно по отношению к счёту. [64]
Пока что ничего нового. Но соотнесение имеет смыл не только для конечных множеств, но и для бесконечных. Вы даже можете соотнести четные числа с остальными:
2 1
4 2
6 3
8 4
10 5 и так далее. Подобные соответствия объясняют происходящее в отеле Гилберта. Вот как у Гилберта появилась идея (помните, крыша вперед фундамента).
62
Если вы никогда не сталкивались с этой математической шуткой, то вот она. Задача один: на крючке висит чайник. Опишите последовательность действий, необходимых, чтобы сделать чашку чая. Ответ: снять чайник с крючка, подставить его под кран, открыть воду, подождать, пока чайник не наполнится, выключить воду… и так далее. Задача 2: чайник стоит в раковине. Опишите последовательность действий, необходимых, чтобы сделать чашку чая. Ответ: открыть воду, подождать, пока чайник не наполнится, выключить воду…и так далее. Ответ может быть и таким: вытащить чайник из раковины, повесить его на крючок, далее действовать как ранее. Это сводит задачу к проблеме, которая уже была решена (хотя, конечно, первым шагом вы снова снимите чайник с крючка и поставите в раковину — во почему это шутка).
63
Да, обычно за «голубым» следует «синий», но это же глупо — синий является лишь оттенком голубого. Это все равно что вставить «бирюзовый» между зеленым и голубым. Синий был включен в спектр только потому, что число «семь» более загадочно, чем «шесть» (короче говоря, нам было нужно место для Октарина, восьмого цвета Плоского Мира. Ну, теперь уже седьмого. Так что теперь это будет Септарин).
И теперь, тем множествам, которые соотносятся между собой, можно присвоить общий символ под названием «кардинальное число», что в принципе является соответствующим числом. К примеру, кардинальное число дней недели это символ 7, и тот же самый символ можно применить к любому множеству, который соответствует дням недели. Таким образом мы можем построить наше понятие числа на простом соотнесении.
64
Именно поэтому даже сегодня, когда лоск «новой математики» оказывается стёртым до дыр, маленькие дети на уроках математики часами рисуют волнообразные линии между кружками содержащими картинки кошечек и кружками с бабочками деловито соотнося эти два множества. Ни дети, ни учителя не имеют ни малейшего понятия о том, зачем они это делают. Фактически они делают это потому что десятки лет назад куча чокнутых педагогов не могли понять, что потому что одно логически предшествует другому, то разумно было бы учить детей в таком порядке. Настоящие математики, которые знают что всегда нужно крыть крышу дома до того как построить фундамент, смотрят на это с ужасом.
